Ich spiele hier nicht um Geld. Aber eines ist sehr Auffällig: Entweder ich bekomme andauernd miese Blätte und an anderen Tischen nur gute. Eine zu erwartende gleichmässige Verteilung findet nie statt.

Wie würde denn für dich eine gleichmäßige Verteilung aussehen?

...jeder 12 Karten

Das nicht einer z.B. 10 Spiele hintereinander macht. Das passiert in Wirklichkeit nie.Entweder habe ich reihenweise gute Blätter an einem Tisch und am Tag drauf nur Schrott. Da hat man das Gefühl das bei der Kartenverteilung der Zufallsgenerator wohl nicht wirklich gut funktioniert

Irrtum. Wenn soetwas NICHT vorkommen würde, wäre mit dem Zufallsgenerator etwas nicht in Ordnung.

Irgendeine Frau geht zum Röntgen, weil sie weiss, dass die Wahrscheinlichkeit, dass sie Brustkrebs hat, immerhin 1% beträgt. Vorsorge und so.

Arzt sagt: Gut dass sie hier sind. Wenn sie ein Mammakarzinom haben, zeigt uns das der Apparat ziemlich gut an (zu 90%). Es kann allerdings vorkommen, dass positiv getestet wird, obwohl es keinen Krebs gibt. Diese Möglichkeit liegt im einstelligen Bereich (9%).

Der Test ist gemacht und liefert ein positives Ergebnis.

Frau sagt: Sehr wahrscheinlich hab ich jetzt Brustkrebs, oder?

Dieses Rätsel gefällt mir sehr gut. Wer es noch nicht kennt und sich daran versucht, wird grossen Nutzen daraus ziehen (sagt der Glückskeks).

Ja.
Vielleicht hättest du aber wenigstens noch etwas warten können, es rauszuposaunen. Ich hoffe, dass trotzdem noch wer im stillen Kämmerlein... 🙂

Der Kontext war: Hier gehts bei der Kartenverteilung nicht mit rechten Dingen zu, weil mein _Gefühl_ mir sagt... Darauf zielte mein Rätsel ab.

Fast. Die Wahrscheinlichkeit für die Krebserkrankung beträgt gerundet sogar nur 9,17% .

Wenn man den Lösungsversuch oben (also 10% Krankheitswahrscheinlichkeit) betrachtet, fällt auf, dass weder die Krankheitshäufigkeit (1%) noch die Wahrscheinlichkeit für einen korrekt positiven Test (90%) irgendwo eingeht. Schon deshalb ist sofort klar, dass das nicht richtig sein kann. Bei dieser Wahl der Zahlen liegt das falsche Ergebnis zufällig in der richtigen Größenordnung.

Ich verwende als Beispiel lieber eine extrem seltene Krankheit dafür aber einen Test, der unglaublich genau ist. Damit kann man gut erklären, warum ein Reihentest für eine sehr seltene Krankheit niemals Sinn macht. Bei Brustkrebs ist das mit den korrekten Zahlen so an der Grenze...

Abhängige Wahrscheinlichkeiten sind eine noch größere Bitch als Kartenverteilungen. Obwohl ich das intensiv gelernt habe, muss ich mich auch immer arg zusammenreissen und sehr konzentrieren, um dabei nicht ins Klo zu greifen.

MM
ps: Falls jemand den Weg zur korrekten Lösung sehen möchte bitte melden. Ich mach mir die Arbeit, dies vom Notizzettel zu übertragen heute Nacht nicht mehr.

Das nicht einer z.B. 10 Spiele hintereinander macht. Das passiert in Wirklichkeit nie.

Also Puffel,
In unserer wöchentlichen live Skatrunde habe ich mal in 8 aufeinander folgenden Spielen, bei denen ich Karten bekam (war auch mal Geber), 7 Grand und ein Farbspiel gemacht.
Zugegeben, sind nicht deine geforderten 10 Spiele, aber wohl doch schon eine Seltenheit und taugt schon als Gegenbeweis.

Oh! Die Geschichte mit der Mammographie gab es vor einiger Zeit immer wieder zu lesen und zwar zur Frage eines damals gerade stark propagierten Nutzens von Vorsorgeuntersuchungen.

MM, gibt es den Notizzettel noch?

Also ist die Lösung nur zufällig richtig?
Es würde mich echt sehr freuen, wenn du dir die Mühe machen willst, Näheres zu schreiben...

Guckguck, giu,

kein Ding. Ist doch meine Berufung ;)

Aber sei gewarnt: Beide Teile der Frage zu beantworten wird sehr umfangreich. Du hasts es so gewollt. :)

Ich beachte hier immer die Wahrscheinlichekit für "Frau hat tatsächlich Brustkrebs". Die Antwort, es wären 9% oder so etwa 10 % ist auf genau die gleiche Art falsch wie 90%, was ja die meisten aus falscher Intuition sagen würden. Anwort 1 basiert auf den falsch positiven bei negativen, Antwort 2 auf den positiven Tests bei positiven. Beide falsche Antworten betrachten also jeweils nur einen von 4 Fällen und können schon deshalb nicht richtig sein.

Nun also richtig: Wenn man die Aufgabe mit mathematischem Hintergrund angeht, ist sie ein Einzeiler und in 30 Sekunden gelöst. Dafür müsste ich hier aber erst gewisse Notationen einführen und ausserdem einen allgemeinen Satz über abhängige Wahrscheinlichkeiten beweisen, wenn nichts vom Himmel fallen soll.

Ich beweise es jetzt also auf eine Art, die etwas länger ist, aber dafür nur Mittelstufenmathematik voraussetzt. Los gehts:

Wir betrachten 10.000 Frauen, an denen der Test durchgeführt wird, von denen die, die um die es geht eine ist.

(Die Zahl 10.000 ist dabei völlig willkürlich. Es ginge auch mit jeder beliebigen anderen Zahl. 10.000 hat den Vorteil, dass die folgenden Zwischenergebnisse ganzzahling bleiben und man nicht über halbe, viertel oder 100stel Frauen reden muss)

Wenn an den Frauen der Test durchgeführt wird wissen wir auf Basis der generellen Krankheitswahrscheinlichkeit von 1%, dass 100 Frauen Brustkrebs haben und 9900 Frauen keinen Brustkrebs haben. Jetzt folgt der Test:

Von den 100 Frauen, die Brustkrebs haben, werden 90 korrekt identifiziert und das Testergebnis ist positiv. (Gruppe 1)

Von den 9900 Frauen, die keinen Brustkrebs haben, erhalten 9% ein positives Ergebnis. Das sind 891 Frauen. (Gruppe 2)

Die übrigen zwei Gruppen (negativ getestet bei positiv, sowie negativ getestet bei negativ) müssen wir hier nicht weiter betrachten, da die Dame, um die es geht ja positiv getestet wurde.

Insgesamt sind dies jetzt also 981 Faruen, die ein positives Ergebnis erhalten. (Gruppe Positiv)

Die Dame, um die es hier geht, HAT ein positives Ergebnis erhalten. Sie ist also eine von den 981. Die Frage ist also nur noch, ob sie zur ersten oder zweiten Gruppe gehört. Die Wahrscheinlichkeite hierfür lässt sich jetzt ganz leicht bestimmen:

P(unsere Frau hat Brustkrebs)= Anzahl in Gruppe 1 / Anzahl in Gruppe positiv

Das ergibt 90/981, also gerundet 0,0917 oder 9,17%.

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Noch kurz zur Frage, warum die nicht korrekte Antwort 9% oder 10% immerhin in der Nähe der korrekten Antwort liegt:

Das ist Zufall und der Tatsache geschuldet, dass die Krankheit mit 1% ziemlich häufig ist. Wäre die Krankheit insgesamt weniger häufig, alle anderen Vorgaben aber gleich, wäre sie völlig falsch.

Wäre die Häufigkeit der Krankheit zum Beispiel nur 0,1%, hätte unsere Dame bereits nur noch mit einer Wahrscheinlichkei von etwas unter 1% Brustkrebs, obwohl sie ja positiv getestet wurde. (Einfach in die Rechnung oben einsetzen)

Wäre der Wert 0,01% wäre ihre Krebswahrscheinlichkeit nach positivem Test schon auf etwas unter 0,1% geschrumpft.

Dies macht klar, dass es nicht nur auf die Qualität des Tests ankommt, sondern zu viel größerem Anteil auf die Häufigkeit der Krankheit. Deshalb meine Aussage, dass Reihentests bei einer seltenen Krankheit nie wirklich Sinn machen, weil die vielen Falsch-Positiven dann kaum noch vom Test abhängen, sondern in der Natur der Sache liegen. Einzige Ausnahme: Man hat einen sowohl in Hinblick auf Sensitiviät als auch Spezifität einen perfekten Test, was sehr, sehr selten ist.

Oft werden in der Öffentlichkeit Reihentest auf seltene Krankheiten gefordert. Meist wird geglaubt, die würden der Bevölkerung einfach aus finanziellen Gründen nicht gegönnt. Im Normalfall handelt es sich aber eher um die oben beschriebene rationale Entscheidung.

Bei Brustkrebs finde ich persönlich die Lage grenzwertig. Ich bin keine Frau aber ich würde denke ich "nur so" nicht zu einem Reihen-Vorsorgetest gehen. Ich hätte vor dem Horror einer falsch-positiven Nachricht (die ja auch viel Verlust an Lebensqualität über einen gewissen Zeitraum bringt) zu viel Angst. Muss aber jeder selbst wissen.

Völlig anders sieht es natürlich aus, wenn man sich testen lässt, weil ein konkreter Verdacht besteht (Knoten in der Brust etc.). Dann ist alles hier geschriebene hinfällig und belanglos. In dem anfänglichen "Rätsel" fehlt also genau genommen noch der Satz, dass unsere Dame den Test nicht aus irgendeinem konkreten Verdacht gemacht hat.

Hui ... bei der Entscheidung für oder gegen eine Vorsorgeuntersuchung betrittst Du den Bereich des Grenznutzens. Hier kommen wir schnell zur individuellen Affinität/Aversion bzgl. eines Risikos.

Ursache ist das Du einen Schritt weiter gehst als die pure Feststellung eines Zustandes. Mit der Diagnose wird ja eine weitere Zufallsinstanz eröffnet:
die Reduktion der Bedrohung/Verlust
(im Beispiel eine erfolgreiche Behandlung)

Die Aussicht auf Erfolg sowie der Zeitfaktor (möglichst frühzeitige Erkennung) können die Motivation zur Vorsorgeuntersuchung positiv beeinflussen.

Albrecht,

na klar tut er das. Und Reihenuntersuchungen auf Volkskrankheiten (zB COPD per LuFu) sind ganz sicher sinnvoll.

Ich machs mir es da relativ einfach:

Abwägung zwischen

1. dem Auffinden eventuell vorhandener Bedrohungen (wie Du richtig schreibst muss das Auffinden ja auch zu einer überhaupt oder noch möglichen Heilung führen). Miss das meinetwegen in gewonnener Lebenszeit in Tagen. Beachte bitte auch, dass gewisse Krebserkrankungen sich so langsam entwickeln, dass die Leute oft bereits lange Zeit vorher an etwas anderem sterben. Meine Mutter sollte kurz vor ihrem Tod mit 76 Jahren noch zur Mammographie bei einem wahllosen Reihentest. Ich gebe zu, dass ich ihr davon abgeraten habe und habe wahrgenommen, dass sie das sehr erleichtert hat, weil sie dachte, sie _müsse_ dort hin, weil "der Staat" das angeordnet hat. Sie glaubte sogar, dass die Behandlungskosten wenn sie mal Brustkrebs kriegt nicht bezahlt würden, wenn sie sich jetzt weigert (so ist die Generation teilweise, aber auch junge Leute kommen auf so Schnappsideen).

und:

2. dem Leid, das erzeugt wird, wenn man eine falsch-positive Nachricht erhält. Hieraus entsteht zunächst einmal (je nach dem wie derjenige mit sowas umgeht) eine Anzahl nicht lebenswerter Lebenstage. Auch Suizide kommen in diesem Bereich vor. Ausserdem kommt es bei vielen solcher Falschergebnisse in einigen Fällen sogar zu nicht ungefährlichen überflüssigen Operationen.

Mein Ansatz ist lediglich, dass Reihenuntersuchungen bei sehr kleiner Krankheitswahrscheinlichkeit auch bei guten Tests keinen Sinn machen. Brustkrebs-Vorsorge steht da für mich irgendwo in der Mitte des Spektrums, wo man sich mit Recht streiten kann.

Ich glaube aber nicht, dass es an den Enden des Spektrums Streitpotential geben kann.

Jack_in_the_box,
Du sagst also, Du hast blitzschnell festgestellt, dass Du bei einer Krankheitswahrscheinlichkeit von 0,01 (und nur genau in diesem Fall) genau so abschätzen darfst und nur einen kleinen Fehler machst? Du hattest also den ganzen Hintergrund blitzschnell verstanden?
Im allgemeinen Fall ist ja die 9/99 "Lösung" genauso falsch wie 9/100. Und sie wird mit sinkender Krankheitswahrscheinlichkeit schnell katastrophal falsch

Ich hätte das nicht gekonnt. Du bist halt ein Multitalent und einfach auf keinem Gebiet zu schlagen.

Ok, dann bist Du bewiesen sogar in meinem Studienfach halt besser als ich. Sowas gibts. Oder Du hast garnichts verstanden und schwurbelst wieder rum. Ich überlasse das dem Leser.

Ich frage mich nur, warum Du die richtige Antwort 9,17% nicht genannt hast, wenn Dir das doch alles klar war. Oder zumindest den ungefähren Weg dahin. Oder wenigstens die Warnung geäussert hast, dass dein Weg eine Abkürzung ist, die nur dann zufällig pi mal Daumen funktioniert, wenn die Krankheitswahrscheinlichkeit 1% ist.

Stattdessen hast Du einen völlig falschen Weg (der so falsch ist wie er nur sein kann, da noch nichtmal alle in der Fragestellung genannten Informationen verwendet werden) vorgestellt.

Genau die Art von Milchmädchenrechnung, die giu mit ihrem Beispiel zeigen wollte.

Bist Du nun ein Dummkopf oder weisst Du die Wahrheit und förderst absichtlich falsche Sichtweisen, damit die anderen nicht von Deinem großartigen Wissen profitieren können?

Das hier ist Dunning-Kruger live. Dir ist jedes Mittel recht, um irgendwie den Eindruck zu erwecken, Du hättest doch irgendwie Recht. Du hast keinerlei Ahnung, wie peinlich das auf jemanden wirkt, der etwas Wissen über die Materie hat- nicht weil es falsch ist, was Du sagst (das passiert jedem von uns dauernd), sondern wie peinlich Du auf diese Tatsache reagierst.

In meiner Welt sagt man brav danke, wenn man etwas lernen durfte (wobei ich nicht den Eindruck habe, dass Du wirklich in der Lage warst, etwas zu lernen; das muss man auch wollen).

Du bist ein ausgezeichnetes Beispiel für das, was in dieser Gesellschaft gerade gefährlich schiefgeht: man verbiegt Dinge, die man wissen könnte so lange, bis die einem aus welchem Grund auch immer in den Kram passen.

Und _das_ ist der Grund, warum Du für mich eine Person bist, mit der ich nicht verkehren möchte und gegen dessen öffentlich geäussertes gefährliches Halbwissen ich zu diversen Themen konsequent vorgehe.

ps: Obschon formal an Dich adressiert handelt es sich hier um einen Text an die Allgemeinheit - Dir etwas beibringen zu wollen habe ich schon seit Monaten aufgegeben.

Ok. Mit Deiner letzten Message ist das Raten nun vorbei. Du bist unfähig und/oder unwillig, irgendetwas nachzuvollziehen, was man Dir kindgerecht erklärt.

Deine letzte Message zeigt, dass Du nichts aber auch garnichts verstanden hast.

Mein Beispiel mit 0,1%, wo dann eine Wahrscheinlickeit von unter einem Prozent für Krebs nach positivem Test herauskommt, habe ich mit (Einfach in die Rechnung oben einsetzen) versehen. Selbst das war Dir der Mühe nicht wert oder Du warst nicht in der Lage. Die Krebswahrscheinlichkeit nach positivem Test hat sich nur aufgrund der allgemeinen Krankheitswahrscheinlichkeit dramatisch verringert.

Diesen Fehler _darf_ man als Amateur machen. Dann aber in größter Selbstsicherheit weiter auf dem Holzpfad zu schreiten, ist dämlich. Denke nach und rechne. Und wenn Du mir einen Gegenbeweis zeigen kannst, hast Du sofort gewonnen und Dir wird angemessen gehuldigt.

Gleichzeitig war das der Kernpunkt der Aussage, die ich bewiesen habe: Die Krankheitswahrscheinlichkeit hat einen mindestens genauso hohen Effekt auf die Ergebnisse wie die Qulität des Tests.

Ich könnte Dir Dutzende von Schul-Internet-Seiten zeigen, wo genau diese Art von Aufgabe besprochen wird (Du warst da offenbar wie so oft gerade Kreide holen). Das ist aber unangemessen, weil ein mathematischer Beweis für sich selbst und ohne Verweis auf Autoritäten Gültigkeit hat. Vor allem, wenn er mit viel Mühe auf der Basis von Schulwissen der Mittelstufe geführt wurde.

Noch sind wir zum Glück nicht soweit, dass über die Korrektheit von eindeutig beweisbaren Aussagen demokratisch abgestimmt wird.

Hallo?

Die Krankheitswahrscheinlichkeit kam in Deiner Milchmädchenrechnung garnicht vor. Gerade hattest Du noch behauptet, die Krankheitswahrscheinlichkeit wäre irrelevant. Du reitest ein totes Pferd.

ps: Ich brauch das auch nicht. Wie ich erklärt habe, kriegst Du dies aber solange weiter, bis Du aufhörst, 1) zu diversen Themen gefährlichen Mist zu labern und 2) mich durch alle Threads (dieser hier ist eine Ausnahme, da hast Du immerhin zuerst etwas geschrieben) zu stalken, um hirnlos und hilflos zu versuchen, mich zu diskreditieren.

Geh mir einfach aus der Sonne. Die Mühe, die Du mir damit machst steht in keinem Verhältnis zu dem Schaden, den Du Dir selbst zufügst.